Zorlanmış Sönümlü ve Zorlanmış Sönümsüz Titreşim

Hareketi

 

Bu konu ile ilgili çözümlü bir uygulamayı buradan indirebilirsiniz. Aşağıda çözümlü uygulamanın bir bölümü mevcuttur.

1. sayfa

 

2. sayfa

 

Sönümlü Zorlamalı Titreşim

Bu bölümde kütle yay sönüm modeline formülü aşağıdaki gibi olan, harmonik değişen bir kuvvet eklediğimizde modelimizin nasıl davranacağına bakacağız. Böyle bir kuvvet örneğin dönmede dengesizlikten kaynaklanabilir.

F= F_0 \cos {(2 \pi f t)} \!

Eğer yine kütle üzerindeki kuvvetleri toplarsak, aşağıdaki adi diferansiyel denklemleri elde ederiz:

m \ddot{x} + { c } \dot{x} + {k } x = F_0 \cos {(2 \pi f t)}

Bu problemin kararlı durum çözümü şu şekilde yazılabilir;

x(t)= X \cos {(2 \pi f t -\phi)} \!

Sonuç, kütlenin uygulanan kuvvetle aynı frekansta, f, salınacağını fakat arada bir faz farkı \phi olacağını gösterir.

Titreşimin genliği ”X” ise aşağıdaki formülde olduğu gibi tanımlanır:

X= {F_0 \over k} {1 \over \sqrt{(1-r^2)^2 + (2 \zeta r)^2}}

Burada “r” harmonik kuvvetin frekansının sönümsüz kütle-yay-sönüm modelinin doğal frekansı olarak tanımlanır.

r=\frac{f}{f_n}

Faz farkı, \phi, ise aşağıdaki formülle tanımlanır:

\phi= \arctan {\left (\frac{2 \zeta r}{1-r^2} \right)}

Forced Vibration Response

Bu fonksiyonların çizimi, sistemin frekans cevabı denir, zorlamalı titreşmin en önemli özelliklerinden birini gösterir. Zorlama frekansının doğal frekansla hemen hemen aynı olduğu(r \approx 1) çok az sönümlü sistemlerde titreşimin genliği çok yüksek olabilir. Bu olgu rezonans-mekanik rezonans olarak adlandırılır. (Böyle bir durumda sistemin doğal frekansı sıklıkla rezonans frekansı olarak adlandırılır)

Eğer rezonans mekanik bir sistemde meydana gelirse çok zararlı olabilir—sistemde nihai bir bozulmaya sebep olabilir. Sonuç olarak titreşim analizinin en önemli sebeplerinden biri rezonansın ne zaman meydana geleceğini tahmin etmek ve gerçekleşmesini önlemek için ne gibi önlemlerin alınacağına karar vermektir. Genlik çizimlerinde görüldüğü gibi, sönüm eklemek titreşimin genliğini önemli derecede azaltır. Aynı zamanda genlik, sistemin kütlesi veya direngenliği değiştirilerek doğal frekansın zorlama frekansından uzaklaştırılmasıyla da düşürülebilir. Eğer sistem değiştirilemiyorsa, belki zorlama frekansı değiştirilebilir (örneğin kuvvete sebep olan makinenin dönme hızını değiştirerek).

Aşağıdakiler ise zorlamalı titreşimin frekans cevabı çizimleri ile ilgili diğer noktalardır:

  • Belirli bir frekans oranında, titreşimin genliği, “X”, doğrudan zorlamanın genliğiF_0 ile orantılıdır(örneğin kuvveti ikiye katlarsanız titreşimde ikiye katlanır).
  • Çok az ya da sıfır sönümde, titreşim zorlama ile aynı fazdadır ve r<1 dir, ve eğer 180 dereceli faz farkı mevcutsa frekans oranı r>1 dir.
  • r 1’den çok küçükse(r<<1) genlik sadece statik kuvvet F_0 altındaki yayın uzamasıdır.Bu uzama statik uzama \delta_{st} olarak adlandırılır.Bu yüzden r<<1 olduğunda sönüm ve kütlenin etkileri minimumdur.
  • r>>1 iken titreşimin genliği statik uzamadan \delta_{st} daha azdır.Bu bölgede kütle tarafından üretilen kuvvet(F=m.a) hakimdir, çünkü kütlenin maruz kaldığı ivme frekans arttıkça artar.Bu bölgede yaydaki uzama, X, azaldığından, yay tarafından zemine iletilen kuvvet(F=k.x) azalır.Böylece kütle-yay-sönüm sistemi harmonik kuvveti zeminden izole eder—buna titreşim izolasyonu denir.İlginç olarak r>>1 olduğunda daha fazla sönüm titreşim izolasyonunun etkisini azaltır çünkü sönüm kuvveti(F=c.V) de zemine transfer edilmektedir.

Rezonansın sebebi nedir?

Eğer kütle ve yayı enerji depolama elemanları olarak görürseniz rezonansı anlamak çok kolaydır—kütle kinetik enerji depolarken yay ise potansiyel enerji depolar. Daha önce de bahsedildiği gibi, kütle ve yay üzerinde hiçbir kuvvet yoktur, onlar enerjilerini doğal frekansa eşit oranda bir ileri bir geri dönüştürürler. Diğer bir deyişle eğer enerji verimli bir şekilde kütle ve yayın içerisine pompalansaydı enerji kaynağının doğal frekansa eşit oranda beslenmesi gerekirdi. Bir kütle ve yaya bir kuvvet uygulamak bir çocuğu salıncakta sallamaya benzer, eğer daha yükseğe sallamak istiyorsanız doğru zamanda ittirmek zorundasınız. Salıncak örneğinde olduğu gibi daha büyük bir hareket elde etmek için uygulanan kuvvetin illa ki çok yüksek olması gerekmemektedir. Bu itmeler sadece enerjinin sistemin içine eklenmesini sağlar.

Sönüm ise enerji depolamak yerine enerjiyi harcar.Sönüm kuvveti hızla orantılı olduğundan, hareket büyüdükçe enerji daha fazla sönümlenir. Böylece sönüm elemanı tarafından sönümlenen enerji ile kuvvet tarafından beslenen enerjinin eşit olduğu bir noktaya ulaşılır.Bu noktada sistem kendi maksimum genliğine ulaşır ve uygulanan kuvvet aynı kaldığı sürece bu genlikte titremeye devam eder.Eğer hiç sönüm yoksa, enerji yutacak hiçbirşey yoktur ve böylece hareket teorik olarak sonsuza gider.

Kütle-Yay-Sönüm Modeline Kompleks Bir Kuvvet Uygulamak

Geçmiş bölümde modelimize sadece basit harmonik bir kuvvet uygulanmıştı, fakat bu iki güçlü matematiksel araç kullanılarak epeyce genişletebilinir.Bunlardan birincisi bir sinyalin zaman fonksiyonunu alıp frekansın bir fonksiyonu olarak harmonik bileşenlerine ayıran Fourier analizidir.Örneğin kütle yay sönüm modelimize şu şekilde tekrar eden bir kuvvet uygulayalım—0.5 sn liğine 1N luk bir kuvvet ve ardından 0.5 saniyeliğine hiç kuvvet uygulamayalım.Bu çeşit kuvvet 1Hz lik kare dalga şekline sahiptir.

1 Hz lik kare dalganın harmonik sinüs fonksiyonlarının toplamı olarak gösterilmesi ve bunun frekans spektrumu

Kare dalganın fourier dönüşümü kare dalgayı oluşturan harmoniklerinin genliklerini gösteren bir frekans spektrumu oluşturur(Aynı zamanda faz farkı da oluşur ancak genellikle bunla daha az ilgilenilir ve bu yüzden sıklıkla da çizilmez). Fourier dönüşümü aynı zamanda geçici (Örneğin: darbeler) veya karışık fonksiyonlar gibi periyodik olmayan fonksiyonların incelenmesinde de kullanılabilir. Modern bilgisayarların avantajlarını kullandığımız günümüzde Fourier dönüşümü daima Hızlı Fourier Dönüşümü(FFT) denen, bir pencere fonksiyonunun kombinasyonu olan bir algoritma kullanılarak bilgisayar ile uygulanır.

Kare dalga kuvvet durumuna döndüğümüzde, birinci öğe 0.5 N’luk sabit bir kuvvettir ve frekans spektrumunda “0” Hz’lik bir değerle temsil edilir. Sonraki öğe ise 1 Hz’lik ve 0.64 genliğinde bir sinüs dalgasıdır. Bu 1 Hz’deki çizgiyle gösterilmiştir. Takip eden öğeler alakasız frekanslardadır ve mükemmel kare dalgalar üretmek için sonsuz sayıda sinüs dalgası içerir. Böylece Fourier dönüşümü bize kuvvetimizi daha kompleks kuvvetler (örneğin kare dalga) yerine uygulanan sinüzoidal kuvvetlerin bir toplamı olarak anlamamızı sağlar.

Geçen bölümde tek bir harmonik kuvvet için titreşim çözümü verilmişti fakat Fourier dönüşümü genellikle çoklu harmonik kuvvetlerde uygulanır. İkinci matematik aracımız ise Süperpozisyon prensibidir. Bu prensip, eğer sistem lineerse kuvvetlerin çözümlerinin toplanmasına izin verir. Kütle-yay-sönüm modelinde eğer yay kuvveti deplasmanla ve sönümde ilgilenilen hareket menzilinde hızla orantılıysa sistem lineerdir. Böylece, kare dalgalı problemin çözümü kare dalganın frekans spektrumunda bulunan harmonik fonksiyonlardan tahmin edilen her bir titreşimin toplanmasıdır.

Frekans Cevabı Modeli

Bir titreşim probleminin çözümünü bir girdi/çıktı ilişkisi olarak görebiliriz—burada kuvvet girdi titreşim ise çıktıdır. Eğer kuvveti ve titreşimi frekans tabanında gösterirsek(genlik ve faz) aşağıdaki ilişkiyi yazabiliriz:

X(\omega)=H(\omega)* F(\omega) \ \ or \ \ H(\omega)= {X(\omega) \over F(\omega)}

H(\omega) frekans cevabı fonksiyonu olarak adlandırılır (aynı zamanda transfer fonksiyonu olarak da adlandırılır fakat teknik olarak çok doğru değildir) ve hem genlik hem de faz bileşenlerini (eğer kompleks sayı olarak gösterilirse reel ve sanal bileşenler) içerir. Frekans cevabı fonksiyonunun (FRF-Frequency Response Function) genliği daha önce kütle-yay-sönüm modeli için gösterilmişti.

|H(\omega)|=\left |{X(\omega) \over F(\omega)} \right|= {1 \over k} {1 \over \sqrt{(1-r^2)^2 + (2 \zeta r)^2}}, \ \ where\ \ r=\frac{f}{f_n}=\frac{\omega}{\omega_n}

FRF’nin fazı da aynı zamanda daha önce aşağıdaki gibi gösterilmişti:

\angle H(\omega)= \arctan {\left (\frac{2 \zeta r}{1-r^2} \right)}

Örneğin; kütlesi 1 kg, yay direngenliği1.93 N/mm ve sönüm oranı 0.1 olan bir kütle yay sönüm sisteminin FRF’sini hesaplayalım. Bu sistem için verilen kütle ve yay değerleri 7 Hz lik bir doğal frekans verir. Eğer önceki 1 Hz lik kare dalgayı sisteme uygularsak kütlenin tahmin edilen titreşimini hesaplayabiliriz. Şekil nihai titreşimi göstermetedir. Bu örnekte kare dalganın dördüncü harmoniği 7 Hz e denk düşer. Girdi kuvveti görece düşük 7 Hz lik bir harmoniğe sahipken kütle yay sönüm yüksek bir 7 Hz lik titreşim oluşturur. Bu örnek çıkış fonksiyonunun hem zorlama fonksiyonuna hem de kuvvetin uygulandığı sisteme bağlı olduğunu açığa çıkarır.

Şekil aynı zamanda çıkış fonksiyonunun zaman tabanı gösterimini de içerir. Bu ters bir Fourier analizi kullanılarak frekans tabanından zaman tabanına geçerek yapılmıştır. Uygulamada, bu pek yapılmaz çünkü frekans spektrumu bütün gerekli bilgileri sağlar.

Frekans Cevabı Modeli

Frekans cevabı fonksiyonunun(FRF) illa ki sistemin kütlesi, direngenliği ve sönümü bilinerek hesaplanması gerekmez; deneysel olarak da ölçülebilir. Örneğin; eğer bilinen bir kuvvet uygularsak ve frekansı tararsak ve ardından çıkış fonksiyonunu ölçersek frekans cevap fonksiyonunu hesaplayabilir ve böylece sistemi karakterize etmiş oluruz. Bu teknik bir yapının titreşim karakteristiklerini belirlemek için deneysel modal analiz alanında kullanılır.

CEVAP VER

Please enter your comment!
Please enter your name here

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.