BASİT EĞİLME TESİRİNDE TRAPEZ KESİTLER

         

Trapez Kesitlerin Tanımı

 

          Statik hesap sonucu zemin kat kolonlarının alt uçlarında meydana gelen Moment, Normal Kuvvet ve Kesme Kuvveti ile, bu kuvvetlerden dolayı temel tabanında meydana gelebilecek olan  (s₁, s₂ ) zemin gerilmeleri ile bu gerilmelerden dolayı temel tabanına tesir eden  ( M_a) momenti ve bu momenti karşılamak için konulması gereken A_s donatısı Şekil 7.1 de verilmiştir.

 

 

 

          Temel altındaki zeminde meydana gelen s₁ ve s₂ basınç gerilmelerinden dolayı temelin a-a kesitinde Ma momenti meydana gelecektir.  Bu momentin tesiri ile Şekil 7.1.b de olduğu gibi temel kesitini üst kısmında meydana gelen beton basınç bölgesi trapez şeklinde olacaktır.  Beton basınç bölgesinin geometrik şekli, betonarme hesap üzerinde etkili olduğundan bu şekildeki kesitlere, trapez kesitler denilmektedir. Gereken donatı, kesitin çekme bölgesi olan alt tarafa konulmaktadır. Trapez kesit simetrik ise b-b kesitindeki gerilmeler dolayısıyla moment küçük olacağından bu kesit için ayrıca hesap yapılmayacaktır.

 

Trapez Kesitlerde Hesap Esası

 

Trapez kesitin boyutları Şekil 7.2 de verilmiştir.  

          b  : Trapez kesit üst genişliğidir. Kolon boyutlarına bağlıdır. Her iki doğrultuda da kolon boyutlarından 5 cm. daha büyük yapılması yapının aplikasyonu açısından uygundur.

          B : Trapez kesitin alt genişliğidir. Zeminde meydana gelen gerilmenin şiddetine ve dağılımına göre hesaplanır.

          d : Kesit faydalı yüksekliğidir. Kesite tesir eden momentin büyüklüğüne göre betonarme hesap sonucu bulunacak değerdir.

          c : Beton örtü kalınlığı. Çekme bölgesindeki donatının ağırlık merkezinden itibaren donatıyı örten beton tabakasının kalınlığıdır. (Paspayı)

          c_c : Net Beton Örtü kalınlığı. Temel kesitlerinde net beton örtü kalınlığının en az 5 cm. alınacağı TS500 de verilmiştir.

          h   : Kesit toplam yüksekliğidir.  h = d+c  dir.

          h1 : Trapez  kesitin, yüksekliği sabit olan  kısmıdır.  Genel olarak 0.4*h alınır.

          Yukarda da görüldüğü gibi trapez kesitler, sadece çekme bölgesine donatı konularak tek donatılı olarak hesap edilirler. e_c, beton birim deformasyonu, sınır değerlere yaklaştığında çift donatı yapmak yerine kesit boyutu artırılarak daha rijit bir temele doğru gidilmesi daha uygundur.

          Temellerin, üst yapıdan gelen yükleri zemine aktarmakla beraber zeminden gelen tepkileri de emniyetle karşılayabilmesi gerektiğinden, diğer yapı elemanlarına göre daha rijit yapılması uygun görülmektedir.

          Bu sebepten dolayı normal betonarme kesitlerde müsaade edilen beton deformasyon oranı (e_c) 0.003 olduğu halde temellerde e_c = 0.002 civarında kalması tavsiye edilmiştir. Ayrıca temellerin rijit yapılmasının bir sonucu olarak temellerde meydana gelen büyük kesme kuvvetleri de beton kesit tarafından karşılanmakta, kesme kuvveti için ilave fazla donatı kullanılmamaktadır.

          Trapez kesitlerin betonarme hesabında, daha önceki dikdörtgen kesitlerin hesabına benzer bir yol izlenebilir.

 

 

          Trapez kesitte tarafsız eksenin üzerinde kalan beton basınç bölgesi (x) derinliğinde ise, beton basınç bloğu derinliği k₁x olarak alınacaktır. Şekil 7.4

 

          Dolayısıyla üst genişliği b, alt tabanı b₁, derinliği  k₁x olan ve trapez şeklinde olduğu kabul  edilen beton basınç gerilmelerinin F_c bileşkesi;

          F_c= 0.85f_cd*k₁x*(b+b₁) / 2   olacaktır.

(x) tarafsız eksen mesafesi malzeme birim deformasyon oranlarına bağlı olarak uygunluk şartından yazılabilir.

          k_x= e_c / (e_c+e_s)  ;         x= k_xd olarak bulunur.

b₁ mesafesinin hesabı:  b₁= b+2*bi

tan a= u / v belli olduğundan  Cot a= bi / (k₁x) ;  bi= k₁x*Cot a

          b₁= b+2*k₁x*Cot a   olarak bulunabilir.

Yatay denge denkleminden     F_s= F_c ;       F_s= A_s*f_yd

          A_s= 0.85*(f_cd / f_yd)*k₁x*(b+b₁) / 2 donatı bulunabilir.

(F_c) Beton basınç bloğunun bileşkesinin üst kısmından olan uzaklığı:   

           e= k₁x*(2b₁+b) / [3 (b₁+b)]  olacaktır.

F_c, F_s kuvvetleri arasındaki manivela kolu ise:  z = d – e  dir.

Dış kuvvetlerin momentinin iç kuvvetlerin momentine eşitlenmesiyle;

Mr= F_c*z

Mr= 0.85f_cd*k₁x*(b+b₁)/2*íd- k₁x*(2b₁+b) / [3*(b₁+b)]ý

moment ifadesi bulunur.

 

 

Tablolar Yardımıyla Çözüm

 

          Trapez kesitlerin bileşke ve ağırlık merkezi hesabı, dikdörtgen kesitlerde olduğu gibi basit olmadığından, trapez kesitlerin hesabının tablolar yardımıyla yapılması daha kolay olmaktadır.

          Trapez Kesitlerin Tablo İle Hesabı

 

          Boyutları ve tesir eden momenti belirli olan trapez kesitte gereken donatıların hesabı ile beton ve çelikte meydana gelen deformasyonların bulunması:

Boyutlar belirli olduğundan tan a= u/v bulunduktan sonra:

tan a = y₁/ x       x= y₁/ tan a      x= …    b₀= B+2*x      (b₀)   bulunur.

l = b₀/ b        m= M / (b₀*d²*f_cd)       

l ve m değerleri ile tabloya girilerek e_c, e_s ve w değerleri okunur. 

Tesir eden M  momenti için gereken donatı alanı aşağıdaki ifade ile bulunur.

 

 Bulunan bu donatının trapez kesitin 0,002 sinden az olmaması gerekir.

A_smin= 0.002* [ B*y₁ + (B+b)/2 *u ]

          Kesitin trapez kesit olması için tarafsız eksene bağlı k₁x değeri, yüksekliği değişen bölge içinde olması gerekir.

Tarafsız eksen mesafesi:

          k_x= e_c / (e_c+e_s) ;            x= k_x d ;         k₁ x £ u  olmalıdır.

e_c betonda, e_s donatıda meydana gelen birim deformasyonlardır.

          Kesitin (d) yüksekliği o şekilde ayarlanmalıdır ki, moment için gereken A_s donatısı ile şartname gereği konması gereken A_smin donatıları birbirine yakın bulunsun. Uygun çözüm, hesap donatısı ile şartname donatısının birbirine yakın olduğu çözümdür.

          Kesit (d) yüksekliği gereğinden küçük seçildiği takdirde beton basınç bölgesi küçüleceğinden (e_c) beton birim deformasyonu artacaktır. Beton kesit küçük olduğundan hesap sonucu gereken donatı artacak ve  A_smin değerinden fazla olacaktır.

          Kesit (d) yüksekliğinin gereğinden büyük seçilmesi halinde de beton basınç bölgesi büyüyeceğinden beton birim deformasyonları küçük çıkacaktır. Buna karşılık hesap sonucu gereken donatı, A_smin değerinden çok daha az olacağından kesite A_smin şartname donatısı konulacaktır.

 

          Moment ve deformasyon durumunun belli olması halinde kesitin (d) yüksekliği ve donatının hesabı:

 

          Kesitin (d) faydalı yüksekliği dışında bütün boyutlarının bilindiği kabul edilmiştir.

 

          Tabloyu kullanabilmek için gerekli olan m ve l sayıları (d) boyutuna bağlıdır. (d) Boyutu bilinmediğinden tablo hemen kullanılamaz. (d) Boyutu için bir kabul yapmak gereklidir.

          Yapılan kabul gerçek değere ne kadar yakınsa sonuca o kadar kısa varılacaktır. Temelin eğimli kısmının açısını 45 derece kabul ederek bunun yardımıyla yüksekliğinin ilk tahminini yapabiliriz. Tahmin edilen bu faydalı yüksekliğe d₁ denilir.

a₁ = 45  derece kabulü  yapıldığı takdirde u=v olacaktır.  

v= (B-b) /2  olarak bellidir.  d₁= u+y₁ bulunur.

x₁ = y₁  olacaktır.            b₀= B+2*x₁ ;          l = b₀/ b  bulunur. 

l ve deformasyon durumu ve belli olduğuna göre tablo 22 den (m) değeri okunabilir.

m= M / (b₀*d²*f_cd)  ifadesinden d ikinci defa bulunur.  Bu değere d₂ denirse

d₂ ¹ d₁ olduğu takdirde (d₂) esas alınarak işleme devam edilir.

u= d₂– y₁    tan a₂  = u / v= …    tan a₂  = y₁/x₂ ;    x₂ = y₁ / tan a₂

b₀= B+2*x₂ ;    l = b₀/ b ;   l ve deformasyon durumu ve belli olduğuna göre tablo 22 den (m) değeri yeniden okunabilir.

m= M / (b₀*d²*f_cd)  ifadesinden (d ) üçüncü defa bulunur. Bu değere de d₃ denirse ve

d₃ ile d₂ birbirine yakın olduğu takdirde işleme son verilerek uygun olanı seçilir.

Burada deformasyon durumunu da dikkate alarak sonuçta karar verilen son yükseklik d₃ ve d₂ den birisi esas alınarak m , l    değerleri tekrar hesap edilmelidir.

l ve m değerleri tekrar hesabedildikten sonra ile tablo 22 den e_c, e_s ve w değerleri okunur.

e_c nin verilen deformasyon sınırının altında olması gerekmektedir.

Gereken donatı ise; A_s= w*b₀*d / (f_yd / f_cd) ifadesi ile bulunacaktır.

Bulunan bu donatı minimum A_s  ile karşılaştırılmalı ve büyük olana göre donatı seçmelidir.

 

          Kesit ve donatının verilmesi halinde, taşınabilecek moment ve deformasyon durumunun hesabı:

Kesit verildiğine göre      tan a = u/ v= … ;     x= y₁/tana ;   

b₀= B+2*x₁ ;     l  = b₀/ b değerleri bulunabilir.

A_s= w*b₀*d/(f_yd/f_cd)  ifadesinden     w= … değeri hesaplanabilir.

l  ve w  değerleri bilindiğine göre  tabloya  girilerek m, e_c ve e_s değerleri okunur.

m= M/(b₀*d²*f_cd) 

ifadesinde tek bilinmeyen olarak M  momenti  hesaplanabilir.